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砝碼的不等權(quán)組合比對(duì)和用*小二乘法求解：

    質(zhì)量單位的基準(zhǔn)器，是*個(gè)1千克砝碼。但在*研究與生產(chǎn)實(shí)踐中，需要測*的質(zhì)量是各種各樣的。這樣，就必須配備質(zhì)量從小到大、其個(gè)數(shù)*少、但能組成任意質(zhì)量量值的*組砝碼，這就是我們通常*說的“砝碼組”  0在*組砝碼中，各個(gè)砝碼的質(zhì)量值，是按照*定的方式與相應(yīng)的**級(jí)標(biāo)準(zhǔn)砝碼進(jìn)行組合比對(duì)得到的。

    我國目前采用的組合比對(duì)法，基本上是沿用蘇聯(lián)很早以前提出的方法,對(duì)于其比對(duì)方案、誤差評(píng)定方法等，都有必要再進(jìn)行認(rèn)真的分析和探討，以便使之更加完善和嚴(yán)謹(jǐn)。

    下面以組合方式為5、2、2、1型的克組砝碼為例進(jìn)行討論。為方便起見，在本文中約定:  以Xg00、X200、x.o.....X2、X;、X,和Xi表示名義質(zhì)量為500克、200克、 200克... :.2克、;克、1克和克砝碼的質(zhì)量計(jì)算值;K500、K，200、  ...K2.K; .K,和K;分別為它們的名義質(zhì)量修正值; X10o0 和Kp。00 0;為**級(jí)千克標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量計(jì)算值和質(zhì)量修正值;并且只討論檢定方法，而不考慮其它因素，如空氣浮力等的影響。根據(jù)蘇聯(lián)H.M.路多著*密衡量法》和我國的有英參考資料，可以得到砝碼組合比對(duì)的衡是方程組以及計(jì)算砝碼質(zhì)量值的公式(1、2]。

    在理想的情況下，假如X。500、  X,2 00、.......X2、X;2 、X1和X;是各個(gè)砝碼的質(zhì)量真值，文獻(xiàn)[1、2]中的計(jì)算公式當(dāng)然是成立的。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看、念有十三個(gè)未知數(shù)的十三個(gè)獨(dú)立方程的解是唯*的。因此。各個(gè)砝碼的質(zhì)*佰可以按公式解出。但是，在測量次數(shù)有限的情況下，尤其是像l:而*說的那樣，十三個(gè)砝碼只進(jìn)行十三次比對(duì)、沒有多余的測量次數(shù),雖然可以求出各個(gè)位碼的質(zhì)*估計(jì)值,但如果以這些公式為堪礎(chǔ)來評(píng)定各個(gè)砝碼在組合比對(duì)中的誤差，就不太嚴(yán)格。在評(píng)定誤差的時(shí)候，*先應(yīng)該考您到殘差的影響;不*要考慮到組內(nèi)的影響，還要考慮訓(xùn)組外的影響;*后，還應(yīng)注意到砝碼的組合比對(duì)是不等權(quán)的。

    如何選擇砝碼組的組合比對(duì)方案?如何評(píng)定組合比對(duì)中各個(gè)被檢砝碼的檢定*度?如何合理地規(guī)定各等砝碼的檢定*度?作者認(rèn)為，在組合比對(duì)中，應(yīng)在原來檢定方案的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加獨(dú)立的比對(duì)次數(shù)，并采用*小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和誤差分析，對(duì)各種可能的方案進(jìn)行比較，從中找出*-個(gè)*度和效率都比較*的*佳方案來。

    關(guān)于應(yīng)用*小二乘法原理對(duì)砝碼的組合比對(duì)進(jìn)行分析和計(jì)算，從已掌握的文獻(xiàn)來看，早在1892年就有人提出。但是，由于計(jì)算量很大，并未得到普遍應(yīng)用。隨著*枝術(shù)的發(fā)展,特別是計(jì)算枝術(shù)的發(fā)展,計(jì)算機(jī)的應(yīng)用日益普遍，使人們可以十分方便地解決那些過去很難計(jì)算的數(shù)學(xué)問題。這樣，許多*就開始采用*小二乘法來處理砝碼組合比對(duì)中的計(jì)算問題。從文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)來看，美國等*在這方面做了許多工作，取得了*定的成績。

    在組合比對(duì)中，比對(duì)的次數(shù)和組合的方式應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇，既可以把被檢砝碼當(dāng)作*組進(jìn)行組合比對(duì)，也可以按十進(jìn)位單元分成的小組進(jìn)行組合比對(duì)。美國D. B.Prowse和A.R.Anderson采用的是后*種方法[3]。本文擬對(duì)前*種方法進(jìn)行討論，因?yàn)樗臀覈壳安捎玫臋z定方法比較接近。*般來說，選擇的比對(duì)方式應(yīng)盡可能在天平的*大負(fù)荷下進(jìn)行，以利于提*比對(duì)*度。

    十三個(gè)砝碼與*個(gè)*- -級(jí)千克標(biāo)準(zhǔn)砝碼進(jìn)行組合比對(duì)的時(shí)候，獨(dú)立的比對(duì)次數(shù)*多為34次。本文以21次為例，說明計(jì)算的方法和步驟。按照比對(duì)的方式和次序，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以得到下列的殘差方程組:

求得的計(jì)算值; L、.L.....是觀測值、也就檢是定時(shí)*得到的a值; v{、v....為殘差。

      這些觀測值是在四臺(tái)不同的天平上測得的，其中:

      L1~Lg是用1千克天平測量的，天平的不確定度△; =0.5毫克;

      L。~L1z是用200克天平測量的，天平的不確定度△2 =0.1毫克; :

      L1s~L17是用20克天平測量的.天平的不確定度△z =0.01毫克;

      L1R ~L21是用2克天平測量的，天平的不確定度△,=0.005毫克。

      顯然、這*組測量是不等權(quán)的，在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理以前，必須先把上述不等權(quán)的殘差方程組變換為等權(quán)的殘差方程組，也就是把上面的殘差方程組單位權(quán)化。

         在上面的克砝碼組中，各砝碼之間*有可能的組合方式總共為34次。為便于說明問題，作者分別對(duì)34次和14次做了計(jì)算。從計(jì)算的結(jié)果來看，在三組數(shù)據(jù)中，比對(duì)21次比較好，不*砝碼的檢定*度*，工作效率也*。這正是-*個(gè)好的檢定方案*必須具備的條件。但是比對(duì)次數(shù)也不能太少，否則計(jì)算出來的標(biāo)準(zhǔn)誤差^σ波動(dòng)比較大。這是人們*不希望的。

    本文對(duì)如何應(yīng)用*小二乘法來解決不等權(quán)組合比對(duì)中的數(shù)據(jù)處理和誤差評(píng)定問題，提出了初步看法，方法比較嚴(yán)謹(jǐn)，檢定*度也有*定程度的提*，無論是在解決工作基準(zhǔn)組砝碼的組合比對(duì)方面，還是對(duì)于合理制定各等砝碼檢定*度，都將有*裨益。但由于條件*限，這里只能提出處理的方法和步驟。要找出*個(gè)*佳的組合比對(duì)方案來，還必須對(duì)各種可能的組合進(jìn)行計(jì)算和比較,工作量相當(dāng)大。